MOND, ein Gesetz, sie alle zu binden – Die Herleitung

In MOND (abgekürzt für Modified Newton Dynamics) wird das Newtonsche Gravitationsgesetz bei kleinen Beschleunigungen von etwa a_0=10^{-10}  Metern pro Quadratsekunde, eine wahnsinnig kleine Beschleunigung, modifiziert. Diese Grenze a_0 spielt dabei die gleiche Rolle wie etwa die Plancksche Konstante h in der Quantenmechanik oder die Lichtgeschwindigkeit c in der Speziellen Relativitätstheorie und wäre somit eine weitere Konstante im Zoo der Naturkonstanten. Alles, was schneller als mit a_0 beschleunigt wird wie gehabt mit Newton beschrieben, alles was langsamer ist, liegt jedoch im MOND Regime und bedarf einer speziellen Modifikation, die wir einfach herleiten können.

Nach Newton ist eine Kraft proportional zur Beschleunigung a und Masse m des Körpers:

F_N = m a

Daraus folgt das bekannte Newtonsche Gravitationsgesetz:

F_G= m  \frac{G M}{ r^2}

In MOND ist die Kraft jedoch gegeben durch

F_{MOND}= m \mu(\frac{a}{a_0})  a

Dies Formel ist unsere Grundannahme der Theorie. Der \mu(\frac{a}{a_0}) Term ist dabei das, was die Theorie so speziell macht.  Bei grossen Beschleunigungen, wie wir sie etwa auf der Erde haben, ist der \mu(\frac{a}{a_0}) Term genau 1, somit geht die MOND Formel in das Newtonsche Gesetz über. Für den Fall von sehr kleinen Beschleunigungen, wie wir sie in den äusseren Teilen von Galaxien vorfinden, ist der \mu(\frac{a}{a_0}) Term gleichzusetzen mit:

\mu(\frac{a}{a_0})\approx \frac{a}{a_0}

Setzen wir die Kraft nach MOND mit der Gravitation gleich, erhalten wir:

F_{MOND} = m \frac{a}{a_0}  a = m  \frac{G M}{ r^2} = F_{G}

wobei sich das m wegkürzt. Betrachten wir nun ein Objekt auf einer Kreisbahn mit der Beschleunigung a=\frac{v^2}{r}, ergibt dies:

\frac{v^4}{a_0 r^2} = \frac{G M}{ r^2}

Nun stellt sich etwas Erstaunliches heraus: Der Radialterm r kürzt sich komplett raus und es bleibt nur noch

v^4=G M a_0

stehen. Die Geschwindigkeit ist somit nur noch gegeben durch die Masse M des Zentralkörpers und hängt nicht mehr von der Distanz r zum Zentrum ab. Dies steht im krassen Kontrast zum Keplerschen Gesetz, in welchem ein Körper eine kleinere Geschwindigkeit aufweist, je weiter er vom Zentrum entfernt ist. In MOND bleibt die Geschwindigkeit gegen aussen konstant, genau so, wie wir es tatsächlich in Galaxien messen.

M33_rotation_curve_HI

Die Rotationskurve der M33 Galaxie. Die gestrichelte Linie ist das, was man nach Newton/Kepler erwartet, die gelben und blauen Punkte das, was wir tatsächlich messen.

Diese sogenannten flachen Rotationskurven von Galaxien sind einer der Hauptgründe, warum wir Dunkle Materie in Galaxien eingeführt haben. Um die Diskrepanz zu erklären, muss zusätzliche unsichtbare Materie vorhanden sein, die so wirkt, dass die Rotationskurven flach werden. Mit der MOND Formel haben wir nun jedoch ein Gesetz kennengelernt, dass die Rotationskurven natürlich erklärt.

 

Nun müssen wir noch die Frage klären, was denn genau der \mu(\frac{a}{a_0}) Term ist. Da  MOND eine empirische Theorie ist, wird der  \mu(\frac{a}{a_0}) Term nicht aus einem höheren Prinzip hergeleitet, wie etwa der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ein internationales Team von Wissenschaftlern um Federico Lelli hat jedoch die Form bestimmt, in dem sie die innere Bewegungen verschiedener Galaxien gemessen haben. Sie sieht wie folgt aus:

Screen Shot 2017-08-18 at 16.25.35

Der Zusammenhang zwischen gravitationeller Beschleunigung und beobachteter Beschleunigung von verschiedenen Galaxien. Die Farbpixel stellen Beobachtung dar, die roten Punkte die Mittelwerte. Die gepunktete Linie ist die Vorhersage nach Newton, die durchgezogene Linie nach MOND. Bild: Lelli et al (2017) ApJ…836..152L.

Deutlich zu erkennen ist die Abweichung der Messdaten (farbige Punkte) von der erwarteten Linie nach Newton/Kepler (die gestrichtelte Linie) bei einer Beschleunigung von etwa 10 hoch -10. Die gestrichelte Linie entspricht hingegen den Vorraussagen von MOND und stimmt exzellent mit den Beobachtungen überein. Der Term   \mu(\frac{a}{a_0})  selbst kann etwa mit

\mu(\frac{a}{a_0}) \approx \frac{\frac{a}{a_0}}{\sqrt{1+ (\frac{a}{a_0})^2}}

approximiert werden. Ein passende Beschreibung für MOND liefert Federico Lelli: „One Law to Rule Them All“, zu Deutsch: „Ein Gesetz, sie alle zu binden“.

Literatur

  • Milgrom (1983) „A modification of the Newtonian dynamics as a possible alternative to the hidden mass hypothesis“
  • Famaey & McGaugh (2014) „Modified Newtonian Dynamics (MOND): Observational Phenomenology and Relativistic Extensions“
  • Lelli et al. (2017) „One Law to Rule Them All: The Radial Acceleration Relation of Galaxies“

 

Advertisements

6 Gedanken zu “MOND, ein Gesetz, sie alle zu binden – Die Herleitung

  1. Das mathematische Modell über die Galaxie sagt aus, dass da viel mehr Materie sein müsste um per Gravitation die Galaxie zusammenzuhalten. So wurde die dunkle Materie „erfunden“, zwar noch nicht gefunden aber eben „erfunden“.

    Es fehlen für materiell untersetzte Berechnung der Galaxie mindestens 3 Werte.
    1. Die tatsächliche Masse der Galaxie (bisher nur berechnet/geschätzt – niemals messbar)
    2. Die tatsächliche Reichweite der Gravitation (bisher nicht gemessen, nur als unendlich angenommen)
    3. Die Eigengeschwindigkeit der Sterne um das Zentrum der Galaxie (bisher nicht beachtet)

    Zu 3. Die Geschwindigkeit der Sterne um das Zentrum der Galaxie bezogen auf die Galaxienumgebung wurde gemessen. Nicht gemessen wurde, wie groß die (nach der SRT berechenbare) Eigengeschwindigkeit der Sterne um das Zentrum der Galaxie ist. (Das dürfte sich nach meiner Auffassung auch messen/berechnen lassen.) Die Eigengeschwindigkeit brauche ich, um die Fliehkräfte in der Kreisbewegung zu berechnen.
    Es könnte sein, dass die Sterne keine Eigengeschwindigkeit in ihrer Bewegung um das Zentrum der Galaxie haben. In die Urknalltheorie integriert ist eine Bewegung mit dem Raum, die gleichartig hier zutreffen könnte.

    Zu. 2. Es könnte auch sein, dass sich die Gravitationskräfte der Sterne gar nicht überlagern, weil sie nicht so weit reichen, oder die Überlagerung nur von untergeordneter Größenordnung ist. (Das kann man heute noch nicht messen.)

    Kürzlich kam eine Meldung, dass bei einer sehr weit entfernten Galaxie die doppelte Geschwindigkeit der Sterne um das Zentrum der Galaxie bezogen auf die Galaxienumgebung gemessen wurde. Was sagt uns das?
    Auch MOND löst die Probleme nicht!!!
    Und da wäre sicherlich noch viel mehr zu berücksichtigen.

    Mit freundlichen Grüßen
    Joachim Blechle

  2. Pingback: Das „Plane of satellites“ Problem | Prosa der Astronomie

  3. Pingback: Wenn Blogger über Wissenschaftler stehen | Prosa der Astronomie

  4. Pingback: Nicht so schnell mit MOND – Die Zwerggalaxie NGC1052-DF2 als kritischer Test für MOND und das Dunkle Materie Modell – Alpha Cephei

  5. Pingback: Neue Stadt, neue Stelle – bienvenue à Strasbourg | Prosa der Astronomie

  6. Pingback: Wissenschaftlicher Diskurs | Prosa der Astronomie

Kommentar verfassen

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden /  Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden /  Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden /  Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden /  Ändern )

Verbinde mit %s